Notes on Face-listings for

“Classification of Superpotentials" by A. Dancer and M. Wang

These notes provide a listing of possible 2-dimensional faces of conv(W), where

W is the set of weight vectors for the scalar curvature function of a compact

homogeneous space G/K where the isotropy representation is multiplicity free.

While they may be of independent interest, these notes are mainly intended as a

supplement to section 6 of our paper "Classification of Superpotentials".

Accordingly, we shall use the notation and definitions given there. In particular,

these notes also list the possible triangles that can occur in Theorem 6.12 of

the above paper.

GENERAL REMARKS

We proceed by studying all possible triples of vectors in W whose affine span

is a 2-plane. In most cases there are no further vectors in this plane, so we

obtain a triangle. In some cases there are further vectors in the 2-plane; it

turns out that the full set of possible vectors in the 2-plane may give a

hexagon, square, trapezium or parallelogram.

For each possible triangle (including subtriangles of the hexagons,

parallelograms etc) we test whether it may give a triangle as in Thm 6.12(i).

We list the possible vectors

x''    x     x'       3c     3a    3a'

and test whether it satisfies the conditions of Thm 6.12(i), i.e., that

c,a,a' are all null and that x'' is orthogonal to a,a'.  The cases where this

condition can hold give examples (Tr1)-(Tr22).

We recall that if x''xx' gives a triangle satisfying the conditions of

Thm 6.12(i) then x'' cannot be type I. Moreover if x'' is type III, say

(-2^i, 1^j), then x_i = x'_i iff x_i = x'_j.

In some cases the shape in the 2-plane cannot be a face. In some of these

cases it is possible that a subtriangle may still be a face, so for these we

still have to check if the conditions of Thm 6.12(i) can hold.

We note that configurations involving the following (column) vectors will

never give a face besides case 0) (see below):

-2    1        or      1  -1

1   -1               -1

-1               -1

This is because the face condition forces a spanning set for the 2-plane in

0) to lie in the given 2-plane. So if the latter has a further vector not in

0) we arrive at a contradiction.

Also if the configuration

-1

1     -1

-1      1

-1

occurs, then the face condition implies that

-1

-1      1

1     -1

-1

also lies in the 2-plane. Many cases can be eliminated by this observation.

Recall from Remarks 6.13, 6.14 that no triangle containing points of W in the

interior of an edge can satisfy the conditions of Thm 6.12. Hence we do not

need to treat such triangles.

We frequently make use without comment of symmetries in the configuration to

reduce the number of cases that need be checked.

Finally, we also check which triangles can satisfy the conditions of Theorem

6.12(ii). These conditions are symmetric with respect to x'', x, x'. Recall

that now one vector, say x'', must be type I.  Moreover c,a,a' must be null.

Writing x'' = (-1^i), we find that nullity of a,a' implies x_i = x'_i.

CONTENTS

The different cases can be grouped according to the types of the vectors in a

spanning set.

0) to 15)      Three type III

16) to 22)      Two type III and a type I

23) to 79)      Two type III and a type II

80) to 90a)     A type III, a type II and a type I

91) to 154)     A type III and two type II

155)             Two type I and a type II

156) to 177)     Two type II and one type I

178) to end      Three type II vectors

Note that the case of three type I is included in 0). Also, the case

of a type III and two type I is dealt with in the comment after 90a).

0)   If all three vectors are zero outside a common set of three indices, we

have the hexagon (H1) lying in the 2-plane

X_1 + X_2 + X_3 =-1        X_i =0 for i > 3.

The only way to get subtriangles of the hexagon with no interior points

of edges is by taking the three type I vectors.

x''   x     x'      3c   3a    3a'

-1     0     0        1   -1    -1        a,c not both null

0    -1     0       -2   -4     2

0     0    -1       -2    2    -4

***************

In future, therefore, we need only consider triples which between them

involve nonzero entries in more than three places.

We first consider 2-planes including three type III vectors.

***************

x''    x     x'     3c    3a     3a'

1) triangle

-2     -2    -2      -6     -6    -6

1      0     0      -1      1     1      a,c not both null

0      1     0       2      4    -2

0      0     1       2     -2     4

***************

2)            -2     -2     0

1      0     1

0      1     0

0      0    -2

The 2-plane is given by

X_1 + X_4 =-2,  X_2 + X_3 =1,  X_i =0 : i > 4

and contains in addition the vectors

0   -1   -1

0    1    0

1    0    1

-2   -1   -1

This is the rectangle (P17). We must consider subtriangles

x''    x     x'      3c    3a    3a'

-2     -2    -1      -4     -8    -2

1      0     1       1     -1     5    a,c not both null

0      1     0       2      4    -2

0      0    -1      -2      2    -4

-2     -2     0      -2    -10     2

1      0     1       1     -1     5        ditto

0      1     0       2      4    -2

0      0    -2      -4      4    -8

-2     -1     0       0     -6     0

1      0     1       1     -1     5

0      1     0       2      4    -2    a',c not both null

0     -1    -2      -6      0    -6

-2     -1     0       0     -6     0

1      1     0       1      5    -1        ditto

0      0     1       2     -2     4

0     -1    -2      -6      0    -6

-1     -2    -1      -5     -7    -1    orthogonality implies

1      0     0      -1      1     1    (d_1,d_2)=(3,1) so a

0      1     1       4      2     2    not null

-1      0    -1      -1      1    -5

-1     -2     0      -3     -9     3       as above

1      0     0      -1      1     1

0      1     1       4      2     2

-1      0    -2      -3      3    -9

-1     -2    -2      -7     -5    -5    orthogonality

1      1     0       1      5    -1    conditions cannot

0      0     1       2     -2     4    both hold

-1      0     0       1     -1    -1

-1     -2    -1      -5     -7    -1

1      1     0       1      5    -1    a,c not both null

0      0     1       2     -2     4

-1      0    -1      -1      1    -5

-1     -2     0      -3     -9     3

1      1     0       1      5    -1       ditto

0      0     1       2     -2     4

-1      0    -2      -3      3    -9

**************

3)            -2  -2   0   now  0  0  also lie in the 2-plane

1   0  -2        0 -1

0   1   0       -2 -1

0   0   1        1  1

X_2+ X_3 + 3 X_4 =1, X_1 + X_2 + X_3 + X_4 =-1, X_i = 0 : I > 4.

This is the trapezium (T1).

we must consider subtriangles

0     -2     0      -4     -8     4

-2      0    -1       0      0    -6

0      1    -1       0      6    -6    a,c not both null

1      0     1       1     -1     5

0     -2     0      -4     -8     4

-2      1     0       4      2    -4    a',c not both null

0      0    -2      -4      4    -8

1      0     1       1     -1     5

0     -2     0      -4     -8     4

-2      1    -1       2      4    -8

0      0    -1      -2      2    -4      ditto

1      0     1       1     -1     5

-2     -2     0      -2    -10     2

0      1    -1       0      6    -6

1      0    -1      -3      3    -3    a,c not both null

0      0     1       2     -2     4

-2     -2     0      -2    -10     2

0      1     0       2      4    -2      ditto

1      0    -2      -5      5    -7

0      0     1       2     -2     4

0     -2    -2      -8     -4    -4

-1      0     1       3     -3     3

-1      1     0       3      3    -3      ditto

1      0     0      -1      1     1

0      0    -2      -4      4    -8

-1     -2     0      -3     -9     3      ditto

-1      0     1       3     -3     3

1      1     0       1      5    -1

0      0    -2      -4      4    -8

-1     -2     1      -1    -11    -7      ditto

-1      0     0       1     -1    -1

1      1     0       1     -5    -1

***************

4)triangle    -2      0     0       2     -2    -2

1     -2    -2      -9     -3    -3   orthogonality fails as

0      1     0       2      4    -2     d_1 is not 1

0      0     1       2     -2     4

***************

5)triangle    -2      0     0       2     -2    -2

1      0     0      -1      1     1

0     -2    -2      -8     -4    -4   This is (Tr1)

0      1     0       2      4    -2

0      0     1       2     -2     4

***************

6)triangle

-2      0     0       2     -2    -2

1      0     0      -1      1     1

0     -2     0      -4     -8     4    a,c not both null

0      1     0       2      4    -2

0      0    -2      -4      4    -8

0      0     1       2     -2     4

***************

7)            -2    1    0         -1   0

1   -2    0    now   0  -1     also occur.

0    0   -2          0   0

0    0    1          0   0

This is a triangle with two interior points on one side. By Remark 6.13, 6.14

the subtriangles to consider are

-2      0    -1       0      0    -6

1      0     0      -1      1     1    a', c not both null

0     -2     0      -4     -8     4

0      1     0       2      4    -2

0     -2    -1      -6     -6     0

0      1     0       2      4    -2

-2      0     0       2     -2    -2        ditto

1      0     0      -1      1     1

0     -1     0      -2     -4     2

0      0    -1      -2      2    -4        ditto

-2      0     0       2     -2    -2

1      0     0      -1      1     1

***************

8) triangle

0     -2     0      -4     -8     4

-2      1     0       4      2    -4     a', c not both null

1      0    -2      -5      5    -7

0      0     1       2     -2     4

***************

9)            -2  0  0

1  1  0      equivalent to 3)

0 -2  1

0  0 -2

***************

10)           -2  0  1

1 -2  0      equivalent to 8)

0  1  0

0  0 -2

***************

11)           -2  0  0           -1

1 -2  1      now   1   is present.

0  0 -2            0

0  1  0           -1

This is a triangle with a midpoint of one side. Subtriangles are

-2     0    -1       0      0    -6

1    -2     1      -3     -9     9     a, c not both null

0     0    -1      -2      2    -4

0     1     0       2      4    -2

-1     0    -2      -3      3    -9

1    -2     1      -3     -9     9          ditto

-1     0     0       1     -1    -1

0     1     0       2      4    -2

0    -2     0      -4     -8     4

-2     1     1       6      0     0

0     0    -2      -4      4    -8     orthogonality fails

1     0     0      -1      1     1

0    -2    -1      -6     -6     0

-2     1     1       6      0     0

0     0    -1      -2      2    -4     a,c not both null

1     0     0      -1      1     1

***************

12)           -2    0    0         -1   0  -1

1    1    1    Now   1   1   1

0   -2    0          0  -1  -1

0    0   -2         -1  -1   0

are also in the 2-plane X_2 =1 : X_i =0 for i > 4.  This is a triangle with

midpoints of all sides.

Subtriangles are

-2      0     0       2     -2    -2

1      1     1       3      3     3

0     -2     0      -4     -8     4    a,c not both null

0      0    -2      -4      4    -8

-2      0     0       2     -2    -2

1      1     1       3      3     3

0     -2    -1      -6     -6     0    this is (Tr2)

0      0    -1      -2      2    -4

-2     -1    -1      -2     -4    -4

1      1     1       3      3     3    a,c not both null

0     -1     0      -2     -4     2

0      0    -1      -2      2    -4

0     -2     0      -4     -8     4

1      1     1       3      3     3      ditto

-1      0    -2      -3      3    -9

-1      0     0       1     -1    -1

-1     -2    -1      -5     -7    -1

1      1     1       3      3     3      ditto

-1      0     0       1     -1    -1

0      0    -1      -2      2    -4

-1     -2     0      -3     -9     3

1      1     1       3      3     3      ditto

-1      0    -1      -1      1    -5

0      0    -1      -2      2    -4

0     -2    -1      -6     -6     0

1      1     1       3      3     3

-1      0    -1      -1      1    -5    orthogonality fails

-1      0     0       1     -1    -1

-1      0    -1      -1      1    -5    nullity and

1      1     1       3      3     3     othogonality are

-1     -1     0      -1     -5     1     contradictory

0     -1    -1      -4     -2    -2

***************

13) triangle  -2      0     0       2     -2    -2

1      0     0      -1      1     1

0     -2     0      -4     -8     4

0      1    -2      -2      8   -10    a,c not both null

0      0     1       2     -2     4

***************

14)        -2   0   0    now  -1  is present.

1   1   0          1

0  -2   0         -1

0   0  -2          0

0   0   1          0

This is a triangle with midpoint of one edge.

-2      0    -1       0      0    -6

1      0     1       1     -1     5

0      0    -1      -2      2    -4    a,c not both null

0     -2     0      -4     -8     4

0      1     0       2      4    -2

-2      0     0       2     -2    -2

1      0     1       1     -1     5

0      0    -2      -4      4    -8        ditto

0     -2     0      -4     -8     4

0      1     0       2      4    -2

-1      0    -2      -3      3    -9

1      0     1       1     -1     5

-1      0     0       1     -1    -1        ditto

0     -2     0      -4     -8     4

0      1     0       2      4    -2

0     -2    -1      -6     -6     0

0      1     1       4      2     2

0      0    -1      -2      2    -4        ditto

-2      0     0       2     -2    -2

1      0     0      -1      1     1

0     -2     0      -4     -8     4

0      1     1       4      2     2

0      0    -2      -4      4    -8    this is (Tr3)

-2      0     0       2     -2    -2

1      0     0      -1      1     1

***************

15)         -2  0  0

1  0  0

0 -2  1     equivalent to 13)

0  1  0

0  0 -2

***************

Now we consider two type III and one type I.

16)    -2  -2   0   now  0   0 are present in the 2-plane

1   0   0        1  -1

0   1   0       -1   1

0   0  -1       -1  -1

given by X_1 + X_2 + X_3 + X_4 = -1, X_2 + X_3 - X_4 = 1, X_i = 0: i > 4.

This is trapezium (T2). The type I must be present; if one type II is present

the other is. So the only way to obtain a triangle without midpoints is to

consider the type I and the two type III. This is ruled out by Remark 6.15

***************

17) triangle

0    -2     0      -4    -8     4

-2     1     0       4     2    -4     a',c not both null

1     0     0      -1     1     1

0     0    -1      -2     2    -4

***************

18)     -2  0  0

1  0  0

0 -2 -1     equivalent to 7)

0  1  0

0  0  0

***************

19)     -2  0  0

1  0  0

0 -2  0     equivalent to 7)

0  1 -1

0  0  0

***************

20)   -2  0  0       Now  -1  1 -1  are also in the 2-plane

1  1  0             0  0  1

0 -2  0             1 -1 -1

0  0 -1            -1 -1  0

X_1 + 2X_2 + X_3 = 0, X_2 - X_4 =1, X_i =0 for i>4.

This is the parallelogram (P16). Subtriangles to consider are

-2      0    -1       0      0    -6

1      0     1       1     -1     5         a,c not both null

0      0    -1      -2      2    -4

0     -1     0      -2     -4     2

-1      0    -2      -3      3    -9

1      0     1       1     -1     5            ditto

-1      0     0       1     -1    -1

0     -1     0      -2     -4     2

***************

21) triangle   -2  0  0

1  0  0

0 -2  0

0  1  0

0  0 -1

-2      0     0       2     -2    -2

1      0     0      -1      1     1

0     -2     0      -4     -8     4      a,c not both null

0      1     0       2      4    -2

0      0    -1      -2      2    -4

***************

If there are two type I in the 2-plane then there are two type III. So we do

not need to consider type III and two type I further.

For example

22)      -2  0  0

1  0  0   is equivalent to 7)

0 -1  0

0  0 -1

***************

Next we consider 2-planes including two type III and a type II.

Observe that any 2-plane including -2  and  -1 will also include  0

1        1                    1

0       -1                   -2

so we do not  consider further examples with two type III and a type II of

the above form.

For example:

23)      -2 -2   -1  or -1

1  0    0      1   is equivalent to 2).

0  1    1      0

0  0   -1     -1

***************

24)      -2  -2   -1    now  -1  is in the plane

1   0    0         -1

0   1   -1          0

0   0    1          1

X_2 + X_3 + 2X_4 =1, X_1 + X_2 + X_3 + X_4 = -1, X_i =0 : i > 4.

This is parallelogram (P1). Subtriangles to consider are:

-2     -2    -1      -4     -8    -2

1      0    -1      -3      3    -3   a,c not both null

0      1     0       2      4    -2

0      0     1       2     -2     4

-1     -2    -2      -7     -5    -5

0      1     0       2      4    -2   a', c not both null

-1      0     1       3     -3     3

1      0     0      -1      1     1

-1     -2    -1      -5     -7    -1

0      1    -1       0      6    -6   a, c not both null

-1      0     0       1     -1    -1

1      0     1       1     -1    -5

-1     -2    -1      -5     -7    -1

0      0    -1      -2      2    -4         ditto

-1      1     0       3      3    -3

1      0     1       1     -1     5

***************

25) triangle

-1     -2    -2      -7     -5    -5

0      1     0       2     -2     4  orthogonality implies

0      0     1       2      4    -2  d_1 \leq 5,  which

1      0     0      -1      1     1  contradicts nullity of c

-1      0     0       1     -1    -1

***************

26)     -2  -2   1   now   1  is also present.

1   0   0        -1

0   1  -1         0

0   0  -1        -1

This is a parallelogram, but not a face by remark ..

-2     -2     1       0    -12     6

1      0    -1      -3      3    -3

0      1     0       2      4    -2    a,c not both null

0      0    -1      -2      2    -4

1     -2     1      -3     -9     9

0      0    -1      -2      2    -4

-1      1     0       3      3    -3      ditto

-1      0    -1      -1      1    -5

1     -2    -2      -9     -3    -3

0      0     1       2     -2     4      ditto

-1      1     0       3      3    -3

-1      0     0       1     -1    -1

1      1    -2      -3      9    -9

0     -1     1       0     -6     6      ditto

-1      0     0       1     -1    -1

-1     -1     0      -1     -5     1

***************

27) triangle

1     -2    -2      -9     -3    -3

0      1     0       2      4    -2

0      0     1       2     -2     4    orthogonality fails

-1      0     0       1     -1    -1

-1      0     0       1     -1    -1

***************

28)       -2  -2  0    Now   0  is in 2-plane; equivalent to 3).

1   0 -1          0

0   1 -1         -2

0   0  1          1

***************

29)       -2   -2   0

1    0   1     This is equivalent to 16).

0    1  -1

0    0  -1

***************

30)     -2  -2   0     Now  0  is also present.

1   0   0          1

0   1   1          0

0   0  -1         -1

0   0  -1         -1

This is parallelogram (P2). Subtriangles to consider are

-2     -2     0      -2    -10     2

1      0     1       1     -1     5

0      1     0       2      4    -2      a,c not both null

0      0    -1      -2      2    -4

0      0    -1      -2      2    -4

0     -2     0      -4     -8     4

0      0     1       2     -2     4

1      1     0       1      5    -1          ditto

-1      0    -1      -1      1    -5

-1      0    -1      -1      1    -5

0     -2     0      -4     -8     4

0      1     1       4      2     2

1      0     0      -1      1     1      orthogonality fails

-1      0    -1      -1      1    -5

-1      0    -1      -1      1    -5

0     -2    -2      -8     -4    -4

0      1     0       2      4    -2

1      0     1       1     -1     5          ditto

-1      0     0       1     -1    -1

-1      0     0       1     -1    -1

***************

31)          -2  -2  0    Now  0  is in the 2-plane

1   0 -1         0

0   1  0        -1

0   0 -1        -1

0   0  1         1

This is parallelogram (P3). Subtriangles to consider are

-2     -2     0      -2    -10     2

1      0    -1      -3      3    -3

0      1     0       2      4    -2

0      0    -1      -2      2    -4     a,c not both null

0      0     1       2     -2     4

0     -2     0      -4     -8     4

0      0    -1      -2      2    -4

-1      1     0       3      3    -3         ditto

-1      0    -1      -1      1    -5

1      0     1       1     -1     5

0     -2    -2      -8     -4    -4

0      0     1       2     -2     4         ditto

-1      1     0       3      3    -3

-1      0     0       1     -1    -1

1      0     0      -1      1     1

0      0    -2      -4      4    -8

0     -1     1       0     -6     6

-1      0     0       1     -1    -1

-1     -1     0      -1     -5     1         ditto

1      1     0       1      5    -1

***************

32) triangle

0     -2    -2      -8     -4    -4

0      1     0       2      4    -2

0      0     1       2     -2     4

1      0     0      -1      1     1      this is (Tr11)

-1      0     0       1     -1    -1

-1      0     0       1     -1    -1

***************

33) -2   1   -1

1  -2    0

0   0   -1

0   0    1

This lies in the 2-plane X_1 + X_2 =-1; X_3 + X_4 =0; X_i =0: i>4.

Now    -1  0 -1   are also in the 2-plane.

0 -1  0

1  0  0

-1  0  0

This is hexagon H2. There is no way to get a subtriangle without midpoints.

***************

34)      -2      1    1    Now  0  -1   0 are also in the 2-plane

1     -2    0         1   0  -1

0      0   -1        -1   0   0

0      0   -1        -1   0   0

X_3 = X_4, X_1 + X_2 + X_3 + X_4 = -1, X_i =0: i > 4. This is the

trapezium (T*1).

We must consider subtriangles

0     -1     0      -2     -4     2

1      0    -1      -3      3    -3      a,c not both null

-1      0     0       1     -1    -1

-1      0     0       1     -1    -1

1     -2    -1      -7     -5     1

0      1     0       2      4    -2      a, a' not both null

-1      0     0       1     -1    -1

-1      0     0       1     -1    -1

***************

35)      -2   1   0    Now -1  0  are also in the 2-plane.

1  -2   0         0 -1

0   0  -1         0  0

0   0  -1         0  0

0   0   1         0  0

This is a triangle with 2 interior points on one side.

Subtriangles to consider are

-2      0    -1       0      0    -6

1      0     0      -1      1     1

0     -1     0      -2     -4     2    a,c not both null

0     -1     0      -2     -4     2

0      1     0       2      4    -2

0     -2    -1      -6     -6     0

0      1     0       2      4    -2       ditto

-1      0     0       1     -1    -1

-1      0     0       1     -1    -1

1      0     0      -1      1     1

0     -2     0      -4     -8     4

0      1    -1       0      6    -6

-1      0     0       1     -1    -1       ditto

-1      0     0       1     -1    -1

1      0     0      -1      1     1

0     -2     1      -2    -10     8

0      1    -2      -2      8   -10

-1      0     0       1     -1    -1       ditto

-1      0     0       1     -1    -1

1      0     0      -1      1     1

0     -1     0      -2     -4     2

0      0    -1      -2      2    -4

-1      0     0       1     -1    -1       ditto

-1      0     0       1     -1    -1

1      0     0      -1      1     1

***************

36)      -2  0 -1     equivalent to 12)

1  1  1

0 -2  0

0  0 -1

***************

37)      -2  0 -1     equivalent to 20)

1  1  0

0 -2  1

0  0 -1

***************

38)      -2  0  1    now  0  -1  are in the same 2-plane

1  1 -1        -1   1

0 -2  0         1  -1

0  0 -1        -1   0

This is the trapezium (T*2). Subtriangles to consider are

-2      0    -1       0      0    -6

1     -1     1      -1     -5     7    a,c not both null

0      1    -1       0      6    -6

0     -1     0      -2     -4     2

0     -2    -1      -6     -6     0

-1      1     1       5      1     1        ditto

1      0    -1      -3      3    -3

-1      0     0       1     -1    -1

0      1    -1       0      6    -6

-1     -1     1       1     -7     5        ditto

1      0    -1      -3      3    -3

-1     -1     0      -1     -5     1

-1      0     1       3     -3     3

1     -1    -1      -5     -1    -1        ditto

-1      1     0       3      3    -3

0     -1    -1      -4     -2    -2

-1     -2     0      -3     -9     3

1      1    -1      -1      7    -5        ditto

-1      0     1       3     -3     3

0      0    -1      -2      2    -4

***************

39)     -2  0  -1   equivalent to 2)

1  1   0

0 -2  -1

0  0   1

***************

40)     -2  0  -1    Now -1   0  are also in the 2-plane

1  1  -1         1  -1

0 -2   0        -1  -1

0  0   1         0   1

X_2 + 2 X_4 =1, X_1 + X_2 + X_3 + X_4 = -1, X_i = 0 : i > 4.

This is trapezium (T3). Subtriangles to consider are

-2     -1     0       0     -6     0

1      1    -1      -1      7    -5

0     -1    -1      -4     -2    -2   orthogonality fails

0      0     1       2     -2     4

-2      0    -1       0      0    -6

1      1    -1      -1      7    -5

0     -2     0      -4     -8     4   a,c not both null

0      0     1       2     -2     4

-1      0    -2      -3      3    -9

-1     -1     1       1     -7     5      ditto

0     -1     0      -2     -4     2

1      1     0       1      5    -1

-1      0    -1      -1      1    -5   orthogonality implies

-1     -1     1       1     -7     5     d_1 =1, so a' is not

0     -1    -1      -4     -2    -2     null

1      1     0       1      5    -1

-1      0     0       1     -1    -1

-1     -1     1       1     -7     5   a', c not both null

0     -1    -2      -6      0    -6

1      1     0       1      5    -1

-1     -2     0      -3     -9     3

-1      1     1       5      1     1   orthogonality fails

0      0    -2      -4      4    -8

1      0     0      -1      1     1

-1     -2     -1     -5     -7    -1

-1      1      1      5      1     1       ditto

0      0     -1     -2      2    -4

1      0      0     -1      1     1

-1      0     -1     -1      1    -5

-1      1      1      5      1     1   a,c not both null

0     -2     -1     -6     -6     0

1      0      0     -1      1     1

-1     -1      0     -1     -5     1   orthogonality implies

1     -1     -1     -5     -1    -1     d_1 =1, so a is not

-1      0     -1     -1      1    -5     null

0      1      1      4      2     2

-1     -2     -1     -5     -7    -1

1      1     -1     -1      7    -5   a,c not both null

-1      0      0      1     -1    -1

0      0      1      2     -2     4

-1     -2      0     -3     -9     3

1      1     -1     -1      7    -5

-1      0     -1     -1      1    -5        ditto

0      0      1      2     -2     4

***************

41)      -2  0  0       Now -1  is also in the 2-plane.

1  1  1            1

0 -2  0           -1

0  0 -1            0

0  0 -1            0

This is a triangle with midpoint of one edge present.

-2      0      0      2     -2    -2

1      1      1      3      3     3

0     -2      0     -4     -8     4   a,c not both null

0      0     -1     -2      2    -4

0      0     -1     -2      2    -4

-1      0     -2     -3      3    -9

1      1      1      3      3     3

-1      0      0      1     -1    -1       ditto

0     -1      0     -2     -4     2

0     -1      0     -2     -4     2

0     -2      0     -4     -8     4

1      1      1      3      3     3

0      0     -2     -4      4    -8       ditto

-1      0      0      1     -1    -1

-1      0      0      1     -1    -1

0     -2     -1     -6     -6     0

1      1      1      3      3     3

0      0     -1     -2      2    -4   this is (Tr12)

-1      0      0      1     -1    -1

-1      0      0      1     -1    -1

***************

42     -2  0  1    Now  0 -1  are in the 2-plane also,

1  1  0         0  1

0 -2  0         1 -1

0  0 -1        -1  0

0  0 -1        -1  0

given by X_4 = X_5, X_2 - X_5 = 1, X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 =-1, X_i =0 :

i > 5.  This is the trapezium (T4).

-2      0     -1      0      0    -6

1      0      1      1     -1     5

0      1     -1      0      6    -6   a,c not both null

0     -1      0     -2     -4     2

0     -1      0     -2     -4     2

-2      1     -1      2      4    -8

1      0      1      1     -1     5

0      0     -1     -2      2    -4        ditto

0     -1      0     -2     -4     2

0     -1      0     -2     -4     2

-2      1      0      4      2    -4

1      0      1      1     -1     5

0      0     -2     -4      4    -8   a', c not both null

0     -1      0     -2     -4     2

0     -1      0     -2     -4     2

0      1     -2     -2      8   -10

0      0      1      2     -2     4

1      0      0     -1      1     1        ditto

-1     -1      0     -1     -5     1

-1     -1      0     -1     -5     1

0      1     -1      0      6    -6

0      0      1      2     -2     4

1      0     -1     -3      3    -3        ditto

-1     -1      0     -1     -5     1

-1     -1      0     -1     -5     1

0      1      0      2      4    -2

0      0      1      2     -2     4

1      0     -2     -5      5    -7        ditto

-1     -1      0     -1     -5     1

-1     -1      0     -1     -5     1

0     -2     -1     -6     -6     0

0      1      1      4      2     2

1      0     -1     -3      3    -3        ditto

-1      0      0      1     -1    -1

-1      0      0      1     -1    -1

0     -2      0     -4     -8     4

0      1      1      4      2     2

1      0     -2     -5      5    -7    orthogonality fails

-1      0      0      1     -1    -1

-1      0      0      1     -1    -1

0     -1      0     -2     -4     2

0      1      1      4      2     2

1     -1     -2     -7      1    -5        ditto

-1      0      0      1     -1    -1

-1      0      0      1     -1    -1

-1      0      1      3     -3     3

1      0      0     -1      1     1

-1      1      0      3      3    -3    a,c not both null

0     -1     -1     -4     -2    -2

0     -1     -1     -4     -2    -2

-1     -2      1     -1    -11     7

1      1      0      1      5    -1

-1      0      0      1     -1    -1       ditto

0      0     -1     -2      2    -4

0      0     -1     -2      2    -4

-1     -2      0     -3     -9     3

1      1      0      1      5    -1       ditto

-1      0      1      3     -3     3

0      0     -1     -2      2    -4

0      0     -1     -2      2    -4

***************

43)       -2  0  -1   now   0 -1  are also in the 2-plane

1  1   0         0  1

0 -2   0        -1 -1

0  0   1         1  0

0  0  -1        -1  0

X_4 + X_5 =0, X_2 + X_4 =1, X_1 + X_2 + X_3 = -1, X_i = 0 : i > 5.

This is trapezium (T5). Subtriangles to consider are

-2  -1   0    0  -6   0

1   0   1    1  -1   5     a,c not both null

0   0  -2   -4   4  -8

0   1   0    2   4  -2

0  -1   0   -2  -4   2

-2   0  -1    0   0  -6

1   0   1    1  -1   5

0  -1  -1   -4  -2  -2     orthogonality fails

0   1   0    2   4  -2

0  -1   0   -2  -4   2

-1   0  -2   -3   3  -9

0   0   1    2  -2   4     a,c not both null

0  -1   0   -2  -4   2

1   1   0    1   5  -1

-1  -1   0   -1  -5   1

-1   0  -1   -1   1  -5

0   0   1    2  -2   4     orthogonality implies d_1 =1

0  -1  -1   -4  -2  -2      so a is not null

1   1   0    1   5  -1

-1  -1   0   -1  -5   1

-1   0   0    1  -1  -1

0   0   1    2  -2   4     a', c not both null

0  -1  -2   -6   0  -6

1   1   0    1   5  -1

-1  -1   0   -1  -5   1

-1  -2  -1   -5  -7  -1

0   1   1    4   2   2

0   0  -1   -2   2  -4     orthogonality fails

1   0   0   -1   1   1

-1   0   0    1  -1  -1

-1  -2   0   -3  -9   3

0   1   1    4   2   2

0   0  -2   -4   4  -8           ditto

1   0   0   -1   1   1

-1   0   0    1  -1  -1

-1  -1   0   -1  -5   1

0   1   1    4   2   2     a',c not both null

0  -1  -2   -6   0  -6

1   0   0   -1   1   1

-1   0   0    1  -1  -1

-1  -1   0   -1  -5   1     orthogonality implies

1   0   0   -1   1   1      d_1 =2, d_2 =1

-1   0  -1   -1   1  -5      so a not null

0   1   1    4   2   2

0  -1  -1   -4  -2  -2

-1  -2  -1   -5  -7  -1

1   1   0    1   5  -1     a,c not both null

-1   0   0    1  -1  -1

0   0   1    2  -2   4

0   0  -1   -2   2  -4

-1  -2   0   -3  -9   3

1   1   0    1   5  -1

-1   0  -1   -1   1  -5          ditto

0   0   1    2  -2   4

0   0  -1   -2   2  -4

***************

44)       -2  0   0   The vector -1  is also in 2-plane.

1  1  -1               1

0 -2   0              -1

0  0   1               0

0  0  -1               0

This is triangle with midpoint of one edge.

-2   0  -1    0   0  -6     a,c not both null

1  -1   1   -1  -5   7

0   0  -1   -2   2  -4

0   1   0    2   4  -2

0  -1   0   -2  -4   2

-1   0  -2   -3   3  -9

1  -1   1   -1  -5   7          ditto

-1   0   0    1  -1  -1

0   1   0    2   4  -2

0  -1   0   -2  -4   2

0  -2   0   -4  -8   4

-1   1   1    5   1   1     orthogonality fails

0   0  -2   -4   4  -8

1   0   0   -1   1   1

-1   0   0    1  -1  -1

0  -2  -1   -6  -6   0

-1   1   1    5   1   1     a,c not both null

0   0  -1   -2   2  -4

1   0   0   -1   1   1

-1   0   0    1  -1  -1

***************

45)       -2   0   0      -1  is also in 2-plane.

1   1   0       1

0  -2   0      -1

0   0  -1       0

0   0  -1       0

0   0   1       0

This is a triangle with midpoint of one edge.

-2   0  -1    0   0  -6

1   0   1    1  -1   5

0   0  -1   -2   2  -4    a,c not both null

0  -1   0   -2  -4   2

0  -1   0   -2  -4   2

0   1   0    2   4  -2

-1   0  -2   -3   3  -9

1   0   1    1  -1   5

-1   0   0    1  -1  -1        ditto

0  -1   0   -2  -4   2

0  -1   0   -2  -4   2

0   1   0    2   4  -2

0  -2  -1   -6  -6   0

0   1   1    4   2   2

0   0  -1   -2   2  -4        ditto

-1   0   0    1  -1  -1

-1   0   0    1  -1  -1

1   0   0   -1   1   1

0  -2   0   -4  -8   4

0   1   1    4   2   2

0   0  -2   -4   4  -8

-1   0   0    1  -1  -1     This is (Tr 13)

-1   0   0    1  -1  -1

1   0   0   -1   1   1

***************

46)       -2   0  -1       equivalent to 11)

1  -2   1

0   1   0

0   0  -1

***************

47)       -2   0  -1   now  -1  is also in 2-plane

1  -2   0        -1

0   1   1         0

0   0  -1         1

This is the parallelogram (P4). Subtriangles to consider are

-2   0  -1   0   0  -6

1  -2   0  -5  -7   5   orthogonality fails

0   1   1   4   2   2

0   0  -1  -2   2  -4

-2   0  -1   0   0  -6

1  -2  -1  -7  -5   1       ditto

0   1   0   2   4  -2

0   0   1   2  -2   4

0  -2  -1  -6  -6   0

-2   1   0   4   2  -4

1   0   1   1  -1   5   a,c not both null

0   0  -1  -2   2  -4

0  -2  -1  -6  -6   0

-2   1  -1   2   4  -8       ditto

1   0   0  -1   1   1

0   0   1   2  -2   4

0  -1  -1  -4  -2  -2

-2   0  -1   0   0  -6   orthogonality fails

1   1   0   1   5  -1

0  -1   1   0  -6   6

-1  -2   0  -3  -9   3

0   1  -2  -2   8 -10   a,c not both null

1   0   1   1  -1   5

-1   0   0   1  -1  -1

-1  -2  -1  -5  -7  -1

0   1  -1   0   6  -6       ditto

1   0   0  -1   1   1

-1   0   1   3  -3   3

-1   0  -1  -1   1  -5

0  -2  -1  -6  -6   0       ditto

1   1   0   1   5  -1

-1   0   1   3  -3   3

-1  -2   0  -3  -9   3

-1   1  -2  -1   7 -11       ditto

0   0   1   2  -2   4

1   0   0  -1   1   1

-1  -2  -1  -5  -7  -1

-1   1   0   3   3  -3       ditto

0   0   1   2  -2   4

1   0  -1  -3   3  -3

-1   0  -1  -1   1  -5  orthogonality implies

-1  -2   0  -3  -9   3  d_1=1, d_2 =3 so a'

0   1   1   4   2   2  is not null

1   0  -1  -3   3  -3

***************

47a)      Triangle

-2     0     -1      0      0    -6

1    -2      0     -5     -7     5

0     1     -1      0      6    -6   a,c not both null

0     0      1      2     -2     4

0    -2     -1     -6     -6     0

-2     1      0      4      2    -4      ditto

1     0     -1     -3      3    -3

0     0      1      2     -2     4

-1    -2      0     -3     -9     3

0     1     -2     -2      8   -10      ditto

-1     0      1      3     -3     3

-1     0      0     -1      1     1

***************

47b)       Triangle

0    -2      0     -4     -8     4

-2     1     -1      2      4    -8

1     0     -1     -3      3    -3   a,c not both null

0     0      1      2     -2     4

0    -2      0     -4     -8     4

-1     1     -2     -1      7   -11

-1     0      1      3     -3     3     ditto

1     0      0     -1      1     1

***************

48)        Triangle

-2     0      1      4     -4     2

1    -2     -1     -7     -5     1   orthogonality fails

0     1      0      2      4    -2

0     0     -1     -2      2    -4

1    -2      0     -5     -7     5

-1     1     -2     -1      7   -11   a,c not both null

0     0      1      2     -2     4

-1     0      0      1     -1    -1

***************

49)       -2    0    0

1   -2   -1    equivalent to 3)

0    1    1

0    0   -1

***************

50)        Triangle

-2     0      1      4     -4     2

1    -2      0     -5     -7     5    a,c not both null

0     1     -1      0      6    -6

0     0     -1     -2      2    -4

0    -2      1     -2    -10     8

-2     1      0      4      2    -4    a',c not both null

1     0     -1     -3      3    -3

0     0     -1     -2      2    -4

1    -2      0     -5     -7     5

0     1     -2     -2      8   -10    a,c not both null

-1     0      1      3     -3     3

-1     0      0      1     -1    -1

***************

51)        Triangle

0    -2      0     -4     -8     4

-2     1      1      6      0     0    orthogonality fails

1     0     -1     -3      3    -3

0     0     -1     -2      2    -4

0    -2      0     -4     -8     4

1     1     -2     -3      9    -9    a,c not both null

-1     0      1      3     -3     3

-1     0      0      1     -1    -1

***************

52)        Triangle

-2     0     -1      0      0    -6

1    -2      0     -5     -7     5    a,c not both null

0     1      0      2      4    -2

0     0     -1     -2      2    -4

0     0      1      2     -2     4

-1     0     -2     -3      3    -9

0    -2      1     -2    -10     8        ditto

0     1      0      2      4    -2

-1     0      0      1     -1    -1

1     0      0     -1      1     1

***************

53)        Triangle

0    -2      0     -4     -8     4

-1     1     -2     -1      7   -11

0     0      1      2     -2     4    a,c not both null

1     0      0     -1      1     1

-1     0      0      1     -1    -1

***************

54)        Triangle

0    -2      0     -4     -8     4

0     1     -2     -2      8   -10

-1     0      1     -3      3    -3    a,c not both null

-1     0      0      1     -1    -1

1     0      0     -1      1     1

0    -2      0     -4     -8     4

-2     1      0      4      2    -4

1     0     -1     -3      3    -3    a', c not both null

0     0     -1     -2      2    -4

0     0      1      2     -2     4

***************

55)        Triangle

-2     0      1      4     -4     2

1    -2      0     -5     -7     5

0     1      0      2      4    -2

0     0     -1     -2      2    -4     a,c not both null

0     0     -1     -2      2    -4

1     0     -2     -5      5    -7

0    -2      1     -2    -10     8

0     1      0      2      4    -2       ditto

-1     0      0      1     -1    -1

-1     0      0      1     -1    -1

***************

56)        Triangle

0    -2      0     -4     -8     4

-2     1      1      6      0     0

1     0      0     -1      1     1     orthogonality fails

0     0     -1     -2      2    -4

0     0     -1     -2      2    -4

0    -2      0     -4     -8     4

1     1     -2     -3      9    -9

0     0      1      2     -2     4     a,c not both null

-1     0      0      1     -1    -1

-1     0      0      1     -1    -1

***************

57)        Triangle

0     -2      0     -4     -8     4

-2      1      0      4      2    -4

1      0      1      1     -1     5    a', c not both null

0      0     -1     -2      2    -4

0      0     -1     -2      2    -4

0     -2      0     -4     -8     4

0      1     -2     -2      8   -10

1      0      1      1     -1     5           ditto

-1      0      0      1     -1    -1

-1      0      0      1     -1    -1

***************

58)        Triangle

0     -2      0     -4     -8     4

0      1     -2     -2      8   -10

0      0      1      2     -2     4    a,c not both null

-1      0      0      1     -1    -1

-1      0      0      1     -1    -1

1      0      0     -1      1     1

***************

59)       -2  0  -1

1  0   1     equivalent to 2)

0 -2  -1

0  1   0

***************

60)       Triangle

-2      0     -1      0      0    -6

1      0     -1     -3      3    -3    a,c not both null

0     -2      1     -2    -10     8

0      1      0      2      4    -2

-1      0     -2     -3      3    -9

-1      0      1      3     -3     3

1     -2      0     -5     -7     5            ditto

0      1      0      2      4    -2

***************

61)        Triangle

-2      0     -1      0      0    -6

1      0     -1     -3      3    -3   orthogonality implies

0     -2      0     -4     -8     4     d_2 =1, now

0      1      1      4      2     2     a' is not null

-1      0     -2     -3      3    -9

-1      0      1      3     -3     3   a,c not both null

0     -2      0     -4     -8     4

1      1      0      1      5    -1

***************

62)       -2    0   -1

1    0    1    equivalent to 3)

0   -2    0

0    1   -1

***************

63)     -2   0  -1     Now   1    also lies in face but the parallelogram

1   0   0          -1

0  -2   1          -1

0   1  -1           0

formed is not a face.  Subtriangles are

-2     -1      1      2     -8     4

1      0     -1     -3      3    -3     a, c not both null

0      1     -1      0      6    -6

0     -1      0     -2     -4     2

-2      0      1      4     -4     2

1      0     -1     -3      3    -3           ditto

0     -2     -1     -6     -6     0

0      1      0      2      4    -2

1     -2      0     -5     -7     5

-1      1      0      3      3    -3           ditto

-1      0     -2     -3      3    -9

0      0      1      2     -2     4

1     -2     -1     -7     -5     1

-1      1      0      3      3    -3           ditto

-1      0      1      3     -3     3

0      0     -1     -2      2    -4

1      0     -1     -3      3    -3

-1      0      0      1     -1    -1           ditto

-1     -2      1     -1    -11     7

0      1     -1      0      6    -6

***************

64)      Triangle

-2      0      1     4     -4     2

1      0     -1    -3      3    -3

0     -2      0    -4     -8     4     a,c not both null

0      1     -1     0      6    -6

1      0     -2    -5      5    -7

-1      0      1     3     -3     3           ditto

0     -2      0    -4     -8     4

-1      1      0     3      3    -3

***************

65)       Triangle

-1     -2      0      -3    -9     3

0      1      0       2     4    -2     a,c not both null

-1      0     -2      -3     3    -9

0      0      1       2    -2     4

1      0      0      -1     1     1

***************

66)       Triangle

-2      0     -1       0     0    -6

1      0     -1      -3     3    -3     a,c not both null

0     -2      0      -4    -8     4

0      1      0       2     4    -2

0      0      1       2    -2     4

0     -1     -2      -6     0    -6

0     -1      1       0    -6     6

-2      0      0       2    -2    -2     a', c not both null

1      0      0      -1     1     1

0      1      0       2     4    -2

-1     -2      0      -3    -9     3

-1      1      0       3     3    -3     a,c not both null

0      0     -2      -4     4    -8

0      0      1       2    -2     4

1      0      0      -1     1     1

***************

67)       Triangle

-1    -2     0      -3    -9     3

0     1     0       2     4    -2

0     0    -2      -4     4    -8     a,c not both null

-1     0     1       3    -3     3

1     0     0      -1     1     1

***************

68)       Triangle

0    -2     0      -4    -8     4

-1     1     0       3     3    -3

0     0    -2      -4     4    -8     a,c not both null

-1     0     1       3    -3     3

1     0     0      -1     1     1

***************

69)       Triangle

-1    -2     0      -3    -9     3

0     1     0       2     4    -2     a,c not both null

1     0    -2      -5     5    -7

0     0     1       2    -2     4

-1     0     0       1    -1    -1

***************

70)       -2   0  -1

1   0   1    equivalent to 14)

0  -2   0

0   1   0

0   0  -1

***************

71)        Triangle

-1    -2     0       -3    -9     3

0     1     0        2     4    -2

0     0    -2       -4     4    -8    a,c not both null

1     0     1        1    -1     5

-1     0     0        1    -1    -1

***************

72)        Triangle

-2     0     1        4    -4     2

1     0    -1       -3     3    -3

0    -2     0       -4    -8     4    a,c not both null

0     1     0        2     4    -2

0     0    -1       -2     2    -4

0     1    -2       -2     8   -10

0    -1     1        0    -6     6

-2     0     0        2    -2    -2          ditto

1     0     0       -1     1     1

0    -1     0       -2    -4     2

1    -2     0       -5    -7     5

-1     1     0        3     3    -3

0     0    -2       -4     4    -8          ditto

0     0     1        2    -2     4

-1     0     0        1    -1    -1

***************

73)         Triangle

1    -2     0       -5    -7     5

0     1     0        2     4    -2    a,c not both null

0     0    -2       -4     4    -8

-1     0     1        3    -3     3

-1     0     0        1    -1    -1

***************

74)         Triangle

0    -2     0       -4    -8     4

1     1     0        1     5    -1

0     0    -2       -4     4    -8           ditto

-1     0     1        3    -3     3

-1     0     0        1    -1    -1

***************

75)        Triangle

-2     0     0        2    -2    -2

1     0     0       -1     1     1

0    -2    -1       -6    -6     0     a,c not both null

0     1     0        2     4    -2

0     0     1        2    -2     4

0     0    -1       -2     2    -4

0    -2     0       -4    -8     4

0     1     0        2     4    -2

-1     0    -2       -3     3    -9           ditto

0     0     1        2    -2     4

1     0     0       -1     1     1

-1     0     0        1    -1    -1

***************

76)        Triangle

-2     0     0        2    -2    -2

1     0     0       -1     1     1

0    -2     0       -4    -8     4     a,c not both null

0     1    -1        0     6    -6

0     0     1        2    -2     4

0     0    -1       -2     2    -4

0    -2     0       -4    -8     4

0     1     0        2     4    -2

0     0    -2       -4     4    -8           ditto

-1     0     1        3    -3     3

1     0     0       -1     1     1

-1     0     0        1    -1    -1

***************

77)        Triangle

-2     0     0        2    -2    -2

1     0     0       -1     1     1

0    -2     0       -4    -8     4     this is (Tr4)

0     1     1        4     2     2

0     0    -1       -2     2    -4

0     0    -1       -2     2    -4

0     0    -2       -4     4    -8

0     0     1        2    -2     4

0    -2     0       -4    -8     4     a,c not both null

1     1     0        1     5    -1

-1     0     0        1    -1    -1

-1     0     0        1    -1    -1

***************

78)         Triangle

-2     0     0        2    -2    -2

1     0     0       -1     1     1

0    -2     1       -2   -10     8     a,c not both null

0     1     0        2     4    -2

0     0    -1       -2     2    -4

0     0    -1       -2     2    -4

0     0    -2       -4     4    -8

0     0     1        2    -2     4

1    -2     0       -5    -7     5

0     1     0        2     4    -2           ditto

-1     0     0        1    -1    -1

-1     0     0        1    -1    -1

***************

79)         Triangle

-2     0     0        2    -2    -2

1     0     0       -1     1     1

0    -2     0       -4    -8     4

0     1     0        2     4    -2     a,c not both null

0     0    -1       -2     2    -4

0     0    -1       -2     2    -4

0     0     1        2    -2     4

0     0    -2       -4     4    -8

0     0     1        2    -2     4

-2     0     0        2    -2    -2

1     0     0       -1     1     1           ditto

0    -1     0       -2    -4     2

0    -1     0       -2    -4     2

0     1     0        2     4    -2

0    -2     0       -4    -8     4

0     1     0        2     4    -2

0     0    -2       -4     4    -8

0     0     1        2    -2     4           ditto

-1     0     0        1    -1    -1

-1     0     0        1    -1    -1

1     0     0       -1     1     1

***************

Now consider 2-planes including a type III, a type II and a type I

80)        -2  -1   0       equivalent to 20)

1   1   0

0  -1   0

0   0  -1

***************

81)        -2   1   0    2-plane also contains  -1

1  -1   0                            0

0  -1   0                           -1

0   0  -1                            1

and gives a parallelogram, but not a face.

Subtriangles to consider are

-2      1     -1      2       4    -8

1     -1      0     -3      -3     3    orthogonality fails

0     -1     -1     -4      -2    -2

0      0      1      2      -2     4

-2      1      0      4       2    -4

1     -1      0     -3      -3     3    a',c not both null

0     -1      0     -2      -4     2

0      0     -1     -2       2    -4

1     -2      0     -5      -7     5

-1      1      0      3       3    -3

-1      0      0      1      -1    -1    a,c not both null

0      0     -1     -2       2    -4

1     -2     -1     -7      -5     1

-1      1      0      3       3    -3

-1      0     -1     -1       1    -5      ditto

0      0      1      2      -2     4

1      0     -1     -3       3    -3

-1      0      0      1      -1    -1

-1      0     -1     -1       1    -5      ditto

0     -1      1      0      -6     6

-1     -2      1     -1      -11    7

0      1     -1      0       6    -6      ditto

-1      0     -1     -1       1    -5

1      0      0     -1       1     1

-1     -2      0     -3      -9     3

0      1      0      2       4    -2      ditto

-1      0      0      1      -1    -1

1      0     -1     -3       3    -3

-1      1      0      3       3    -3

0     -1      0     -2      -4     2

-1     -1      0     -1      -5     1      ditto

1      0     -1     -3       3    -3

***************

82)       Triangle

-2     -1      0       0     -6      0

1     -1      0      -3     -3      3   a,c not both null

0      1      0       2      4     -2

0      0     -1      -2      2     -4

-1     -2      0      -3     -9      3

-1      1      0       3      3     -3         ditto

1      0      0      -1      1      1

0      0     -1      -2      2     -4

***************

83)      -2   -1   0        equivalent to 81)

1    0   0

0   -1   0

0    1  -1

***************

84)      -2   -1   0        equivalent to 20)

1    0   0

0   -1  -1

0    1   0

***************

85)      -2    0   0

1   -1   0        equivalent to 16)

0   -1  -1

0    1   0

***************

86)       Triangle

0    -2     0      -4    -8     4

-1     1     0       3     3    -3     a,c not both null

-1     0     0       1    -1    -1

1     0    -1      -3     3    -3

***************

87)      -2   0   0

1   1   0         equivalent to 16)

0  -1  -1

0  -1   0

***************

88)      -2   1   0

1   0   0         equivalent to 20)

0  -1  -1

0  -1   0

***************

89)       Triangle

-2     0     0       2    -2     -2

1     0     0      -1     1      1

0     1    -1       0     6     -6    a,c not both null

0    -1     0      -2    -4      2

0    -1     0      -2    -4      2

0    -2     0      -4    -8      4

0     1     0       2     4     -2          ditto

1     0    -1      -3     3     -3

-1     0     0       1    -1     -1

-1     0     0       1    -1     -1

***************

90)      -2  0  0       0   is also in 2-plane.

1  0  0       0

0  1  0      -1

0 -1 -1      -1

0 -1  0       1

We have triangle with a midpoint of one edge.

-2     0     0       2    -2     -2

1     0     0      -1     1      1

0     1     0       2     4     -2    a',c not both null

0    -1    -1      -4    -2     -2

0    -1     0      -2    -4      2

0    -2     0      -4    -8      4

0     1     0       2     4     -2    a,c not both null

1     0     0      -1     1      1

-1     0    -1      -1     1     -5

-1     0     0       1    -1     -1

0    -2     0      -4    -8      4

0     1     0       2     4     -2

1     0    -1      -3     3     -3         ditto

-1     0    -1      -1     1     -5

-1     0     1       3    -3      3

***************

90a)      Triangle

-2     0     0       2    -2     -2

1     0     0      -1     1      1

0     1     0       2     4     -2    a,c not both null

0    -1     0      -2    -4      2

0    -1     0      -2    -4      2

0     0    -1      -2     2     -4

0    -2     0      -4    -8      4

0     1     0       2     4     -2         ditto

1     0     0      -1     1      1

-1     0     0       1    -1     -1

-1     0     0       1    -1     -1

0     0    -1      -2     2     -4

**************

We do not have to consider the situation with a type III and two type I

since affine combinations of the type I

-1     0        give      -2    1

0    -1                   1   -2

and so will have already been considered before.

Now consider 2-planes including a type III and two type II.

Note that configurations involving   -2  -1  need not be considered

1   1

0  -1

.   .

as then 0  is also in the 2-plane so the example will have already occurred.

1

-2

.

For example

91)     -2   -1   0    has 0  in the 2-plane so is equivalent to 12).

1    1   1        1

0   -1  -1       -2

0    0  -1        0

***************

92)     -2    1   0     equivalent to 38)

1   -1  -1

0   -1  -1

0    0   1

***************

93)     -2    1  -1      0   is in the 2-plane.

1   -1  -1      1

0   -1   0     -1

0    0   1     -1

This is a parallelogram, but not a face. Nor can the subtriangles be

faces.

***************

94)     -2   1   1         Triangle, but not face

1  -1  -1

0  -1   0

0   0  -1

***************

95)     -2   1  -1

1  -1   0         equivalent to 81)

0  -1  -1

0   0   1

***************

96)     -2   1   1

1  -1   0

0  -1  -1         equivalent to 26)

0   0  -1

***************

97)     -2   1  -1

1  -1   1         equivalent to 38)

0  -1   0

0   0  -1

***************

98)     -2   1   0

1  -1   1         equivalent to 93)

0  -1  -1

0   0  -1

***************

99)     -2   1   0

1  -1  -1         triangle, not face

0  -1   1

0   0  -1

***************

100)    -2   1   1         equivalent to 63)

1  -1   0

0  -1   0

0   0  -1

0   0  -1

***************

101)    -2   1   1

1  -1   0

0  -1   0        triangle, not face

0   0  -1

0   0  -1

***************

102)    -2   1   0

1  -1   1

0  -1   0        triangle, not face

0   0  -1

0   0  -1

***************

103)    -2   1   0

1  -1   0

0  -1   1        triangle , not face

0   0  -1

0   0  -1

***************

104)    -2   1  -1        now 0  is in the 2-plane.

1  -1   0            0

0  -1   0           -1

0   0  -1            1

0   0   1           -1

If the first two or last two are present it is not a face , so no

subtriangle is a face.

***************

105)    -2   1   0        triangle, not face

1  -1  -1

0  -1   0

0   0  -1

0   0   1

***************

106)    -2   1   0        equivalent to 104)

1  -1   0

0  -1  -1

0   0  -1

0   0   1

***************

107)     Triangle

-2     -1     -1      -2     -4     -4

1     -1     -1      -5     -1     -1   orthogonality implies

0      1      0       2      4     -2   (d_1,d_2)=(2,1), which

0      0      1       2     -2      4   contradicts nullity of c

-1     -2     -1      -5     -7     -1

-1      1     -1       1      5     -7

1      0      0      -1      1      1   a,c not both  null

0      0      1       2     -2      4

-1     -2     -1      -5     -7     -1

-1      1     -1       1      5     -7   a,c not both null

0      0      1       2     -2      4

1      0      0      -1      1      1

***************

108)    -2   -1   -1      equivalent to 47)

1   -1   -1

0    1   -1

0    0    1

***************

109)     Triangle

-1    -2      0       -3      -9      3

-1     1     -1        1       5     -7

1     0     -1       -3       3     -3  a,c not both null

0     0      1        2      -2      4

0    -2     -1       -6      -6      0

-1     1     -1        1       5     -7       ditto

-1     0      1        3      -3      3

1     0      0       -1       1      1

***************

110)    -2   -1   -1      equivalent to 40)

1   -1    1

0    1    0

0    0   -1

***************

111)    -2   -1   -1      equivalent to 24)

1   -1    0

0    1    1

0    0   -1

***************

112)    -2   -1    0      equivalent to 110)

1   -1   -1

0    1    1

0    0   -1

***************

113)    -2   -1    1      equivalent to 93)

1   -1   -1

0    1    0

0    0   -1

***************

114)    -2   -1    0      equivalent to 113)

1   -1    1

0    1   -1

0    0   -1

***************

115)     Triangle

-2    -1     1        2    -8     4

1    -1     0       -3    -3     3     a,c not both null

0     1    -1        0     6    -6

0     0    -1       -2     2    -4

-1    -2     1       -1   -11     7

-1     1     0        3     3    -3           ditto

1     0    -1       -3     3    -3

0     0    -1       -2     2    -4

1    -2    -1       -7    -5     1

0     1    -1        0     6    -6     a,a' not both null

-1     0     1        3    -3     3

-1     0     0        1    -1    -1

***************

116)     Triangle

-1    -2    -1       -5    -7    -1

-1     1     0        3     3    -3

1     0     0       -1     1     1     a,c not both null

0     0    -1       -2     2    -4

0     0     1        2    -2     4

-1    -2    -1       -5    -7    -1

0     1    -1        0     6    -6

0     0     1        2    -2     4           ditto

-1     0     0        1    -1    -1

1     0     0       -1     1     1

***************

117)     Triangle

-1    -2     0       -3    -9     3

-1     1    -1        1     5    -7

1     0     0       -1     1     1     a,c not both null

0     0     1        2    -2     4

0     0    -1       -2     2    -4

0    -2    -1       -6    -6     0

-1     1    -1        1     5    -7

0     0     1        2    -2     4           ditto

1     0     0       -1     1     1

-1     0     0        1    -1    -1

***************

118)     Triangle

-2    -1     0        0    -6     0

1    -1     0       -3    -3     3

0     1    -1        0     6    -6     a,c not both null

0     0     1        2    -2    -4

0     0    -1       -2     2    -4

-1    -2     0       -3    -9     3

-1     1     0        3     3    -3

1     0    -1       -3     3    -3          ditto

0     0     1        2    -2     4

0     0    -1       -2     2    -4

0    -2    -1       -6    -6     0

0     1    -1        0     6    -6          ditto

-1     0     1        3    -3     3

1     0     0       -1     1     1

-1     0     0        1    -1    -1

***************

119)     Triangle

-2    -1     0        0    -6     0

1    -1     0       -3    -3     3    orthogonality implies

0     1     1        4     2     2    d_2 =1, so a not null

0     0    -1       -2     2    -4

0     0    -1       -2     2    -4

-1    -2     0       -3    -9     3

-1     1     0        3     3    -3

1     0     1        1    -1     5    a,c not both null

0     0    -1       -2     2    -4

0     0    -1       -2     2    -4

0    -2    -1       -6    -6     0

0     1    -1        0     6    -6

1     0     1        1    -1     5         ditto

-1     0     0        1    -1    -1

-1     0     0        1    -1    -1

***************

120)     Triangle

-2    -1     0        0    -6     0

1    -1     1       -1    -5     7

0     1     0        2     4    -2    a,c not both null

0     0    -1       -2     2    -4

0     0    -1       -2     2    -4

-1    -2     0       -3    -9     3

-1     1     1        5     1     1

1     0     0       -1     1     1    orthogonality fails

0     0    -1       -2     2    -4

0     0    -1       -2     2    -4

0    -2    -1       -6    -6     0

1     1    -1       -1     7    -5

0     0     1        2    -2     4    a,c not both null

-1     0     0        1    -1    -1

-1     0     0        1    -1    -1

***************

121)     Triangle

-2    -1     1        2    -8     4

1    -1     0       -3    -3     3

0     1     0        2     4    -2    a,c not both null

0     0    -1       -2     2    -4

0     0    -1       -2     2    -4

-1    -2     1       -1   -11     7

-1     1     0        3     3    -3         ditto

1     0     0       -1     1     1

0     0    -1       -2     2    -4

0     0    -1       -2     2    -4

1    -2    -1       -7    -5     1

0     1    -1        0     6    -6

0     0     1        2    -2     4    orthogonality fails

-1     0     0        1    -1    -1

-1     0     0        1    -1    -1

***************

122)    -2  -1   0         equivalent to 33)

1   0  -1

0   1   1

0  -1  -1

***************

123)    -2  -1   0

1   0  -1         equivalent to 33)

0   1  -1

0  -1   1

***************

124)    -2  -1   0         now  -1 is in 2-plane

1   0  -1               0

0   1   1               0

0  -1   0               1

0   0  -1              -1

This is parallelogram (P5).

-2  -1   0     0  -6   0

1   0  -1    -3   3  -3

0   1   1     4   2   2   orthogonality fails

0  -1   0    -2  -4   2

0   0  -1    -2   2  -4

-2  -1  -1    -2  -4  -4

1   0   0    -1   1   1

0   1   0     2   4  -2   a,c not both null

0  -1   1     0  -6   6

0   0  -1    -2   2  -4

-2   0  -1     0   0  -6

1  -1   0    -3  -3   3   orthogonality fails

0   1   0     2   4  -2

0   0   1     2  -2   4

0  -1  -1    -4  -2  -2

-1  -2   0    -3  -9   3

0   1  -1     0   6  -6   a,c not both null

1   0   1     1  -1   5

-1   0   0     1  -1  -1

0   0  -1    -2   2  -4

-1  -2  -1    -5  -7  -1

0   1   0     2   4  -2

1   0   0    -1   1   1          ditto

-1   0   1     3  -3   3

0   0  -1    -2   2  -4

-1   0  -1    -1   1  -5

0  -1   0    -2  -4   2

1   1   0     1   5  -1   orthogonality implies {d_1,d_3}

-1   0   1     3  -3   3    = {1,2} so a not null

0  -1  -1    -4  -2  -2

0  -2  -1    -6  -6   0

-1   1   0     3   3  -3

1   0   0    -1   1   1   orthogonality fails

0   0   1     2  -2   4

-1   0  -1    -1   1  -5

0  -2  -1    -6  -6   0

-1   1   0     3   3  -3   orthogonality fails

1   0   1     1  -1   5

0   0  -1    -2   2  -4

-1   0   0     1  -1  -1

0  -1  -1    -4  -2  -2   orthogonality implies d_2=1, d_3=2

-1   0   0     1  -1  -1      so a' is not null

1   0   1     1  -1   5

0   1  -1     0   6  -6

-1  -1   0    -1  -5   1

-1  -2  -1    -5  -7  -1

0   1   0     2   4  -2

0   0   1     2  -2   4   a,c not both null

1   0  -1    -3   3  -3

-1   0   0     1  -1  -1

-1  -2   0    -3  -9   3

0   1  -1     0   6  -6

0   0   1     2  -2   4

1   0   0    -1   1   1           ditto

-1   0  -1    -1   1  -5

-1  -1   0    -1  -5   1  orthogonality implies {d_1,d_5}

0   0  -1    -2   2  -4     = {1,2}, so a not null

0   1   1     4   2   2

1  -1   0    -3  -3   3

-1   0  -1    -1   1  -5

***************

125)    -2  -1   0     now    -1  is in 2-plane

1   0  -1             0

0  -1  -1             0

0   1   0            -1

0   0   1             1

This is parallelogram (P6)

-2  -1   0    0  -6   0

1   0  -1   -3   3  -3  orthogonality fails

0  -1  -1   -4  -2  -2

0   1   0    2   4  -2

0   0   1    2  -2   4

-2  -1  -1   -2  -4  -4

1   0   0   -1   1   1

0  -1   0   -2  -4   2  a,c not both null

0   1  -1    0   6  -6

0   0   1    2  -2   4

-2   0  -1    0   0  -6

1  -1   0   -3  -3   3  orthogonality fails

0  -1   0   -2  -4   2

0   0  -1   -2   2  -4

0   1   1    4   2   2

-1  -2   0   -3  -9   3

0   1  -1    0   6  -6

-1   0  -1   -1   1  -5   a,c not both null

1   0   0   -1   1   1

0   0   1    2  -2   4

-1  -2  -1   -5  -7  -1

0   1   0    2   4  -2

-1   0   0    1  -1  -1   a,c not both null

1   0  -1   -3   3  -3

0   0   1    2  -2   4

-1   0  -1   -1   1  -5   orthogonality implies d_1=1

0  -1   0   -2  -4   2    d_3 = 2 and now a'

-1  -1   0   -1  -5   1    is not null

1   0  -1   -3   3  -3

0   1   1    4   2   2

0  -2  -1   -6  -6   0

-1   1   0    3   3  -3

-1   0  -1   -1   1  -5   orthogonality fails

0   0   1    2  -2   4

1   0   0   -1   1   1

0  -2  -1   -6  -6   0

-1   1   0    3   3  -3

-1   0   0    1  -1  -1   orthogonality fails

0   0  -1   -2   2  -4

1   0   1    1  -1   5

0  -1  -1   -4  -2  -2

-1   0   0    1  -1  -1   orthogonality implies

-1  -1   0   -1  -5   1    d_3 =2, d_2 =1 so a is not null

0   1  -1    0   6  -6

1   0   1    1  -1   5

-1  -2  -1   -5  -7  -1

0   1   0    2   4  -2

0   0  -1   -2   2  -4   a,c not both null

-1   0   1    3  -3   3

1   0   0   -1   1   1

-1  -2   0   -3  -9   3

0   1  -1    0   6  -6        ditto

0   0  -1   -2   2  -4

-1   0   0    1  -1  -1

1   0   0    1  -1   5

-1  -1   0   -1  -5   1   orthogonality  implies

0   0  -1   -2   2  -4     d_1 =1, d_5 = 2

0  -1  -1   -4  -2  -2     and a' is not null

-1   1   0    3   3  -3

1   0   1    1  -1   5

***************

126)    Triangle

-2  -1   0    0  -6   0

1   0  -1   -3   3  -3   a,c not both null

0  -1   1    0  -6   6

0   1   0    2   4  -2

0   0  -1   -2   2  -4

-1  -2   0   -3  -9   3

0   1  -1    0   6  -6         ditto

-1   0   1    3  -3   3

1   0   0   -1   1   1

0   0  -1   -2   2  -4

0  -2  -1   -6  -6   0

-1   1   0    3   3  -3

1   0  -1   -3   3  -3  orthogonality fails

0   0   1    2  -2   4

-1   0   0    1  -1  -1

***************

127)    Triangle

-2  -1   0     0  -6   0

1   0  -1    -3   3  -3

0   1   0     2   4   2    a,c not both null

0  -1   0    -2  -4   2

0   0   1     2  -2   4

0   0  -1    -2   2  -4

-1  -2   0    -3  -9   3

0   1  -1     0   6  -6

1   0   0    -1   1   1         ditto

-1   0   0     1  -1  -1

0   0   1     2  -2   4

0   0  -1    -2   2  -4

0  -2  -1    -6  -6   0

-1   1   0     3   3  -3

0   0   1     2  -2   4

0   0  -1    -2   2  -4   orthogonality fails

1   0   0    -1   1   1

-1   0   0     1  -1  -1

***************

128)    -2   1   0          equivalent to 34)

1   0   1

0  -1  -1

0  -1  -1

***************

129)    -2   1   0          now  -1 is in 2-plane

1   0   1                0

0  -1  -1                0

0   0  -1                1

0  -1   1               -1

This is parallelogram (P7).

-2      1      0       4      2     -4

1      0      1       1     -1      5

0     -1     -1      -4     -2     -2    orthogonality fails

0      0     -1      -2      2     -4

0     -1      0      -2     -4      2

-2     -1      0       0     -6      0

1      0      1       1     -1      5

0      0     -1      -2      2     -4    a,c not both null

0      1     -1       0      6     -6

0     -1      0      -2     -4      2

1     -2      0      -5     -7      5

0      1      1       4      2      2

-1      0     -1      -1      1     -5    orthgonality fails

0      0     -1      -2      2     -4

-1      0      0       1     -1     -1

1     -2     -1      -7     -5      1

0      1      0       2      4     -2

-1      0      0       1     -1     -1    orthogonality fails

0      0      1       2     -2      4

-1      0     -1      -1      1     -5

1      0     -1      -3      3     -3

0      1      0       2      4     -2

-1     -1      0      -1     -5      1    a,c not both null

0     -1      1       0     -6      6

-1      0     -1      -1      1     -5

0     -2      1      -2    -10      8

1      1      0       1      5     -1

-1      0     -1      -1      1     -5         ditto

-1      0      0       1     -1     -1

0      0     -1      -2      2     -4

0     -2     -1      -6     -6      0

1      1      0       1      5     -1

-1      0      0       1     -1     -1         ditto

-1      0      1       3     -3      3

0      0     -1      -2      2     -4

0      1     -1       0      6     -6

1      0      0      -1      1      1

-1     -1      0      -1     -5      1    a,a' not both null

-1      0      1       3     -3      3

0     -1     -1      -4     -2     -2

-1     -2      1      -1    -11      7

0      1      0       2      4     -2

0      0     -1      -2      2     -4    a,c not both null

1      0      0      -1      1      1

-1      0      0      -1      1     -5

-1     -2      0      -3     -9      3

0      1      1       4      2      2

0      0     -1      -2      2     -4    orthogonality fails

1      0     -1      -3      3     -3

-1      0      0       1     -1     -1

-1      1      0       3      3     -3

0      0      1       2     -2      4

0     -1     -1      -4     -2     -2    orthogonality fails

0      0     -1      -3      3     -3

-1     -1      0      -1     -5      1

***************

130)     Triangle

-2      1      0       4      2     -4

1      0      1       1     -1      5    a', c not both null

0     -1      0      -2     -4      2

0     -1      0      -2     -4      2

0      0     -1      -2      2     -4

0      0     -1      -2      2     -4

1     -2      0      -5     -7      5

0      1      1       4      2      2

-1      0      0       1     -1     -1    orthogonality fails

-1      0      0       1     -1     -1

0      0     -1      -2      2     -4

0      0     -1      -2      2     -4

0     -2      1      -2    -10      8

1      1      0       1      5     -1

0      0     -1      -2      2     -4

0      0     -1      -2      2     -4    a, c not both null

-1      0      0       1     -1     -1

-1      0      0       1     -1     -1

**************

131)   -2  -1   0        equivalent to 47)

1   0   1

0  -1  -1

0   1  -1

***************

132)    Triangle

-2     -1      0       0     -6      0

1      0      1       1     -1      5

0     -1     -1      -4     -2     -2     orthogonality fails

0      1      0       2      4     -2

0      0     -1      -2      2     -4

-1     -2      0      -3     -9      3

0      1      1       4      2      2

-1      0     -1      -1      1     -5     orthogonality fails

1      0      0      -1      1      1

0      0     -1      -2      2     -4

0     -2     -1      -6     -6      0

1      1      0       1      5     -1

-1      0     -1      -1      1     -5     a,c not both null

0      0      1       2     -2      4

-1      0      0       1     -1     -1

***************

133)   -2  -1   0          equivalent to 129)

1   0   1

0   1  -1

0   0  -1

0  -1   0

***************

134)    Triangle

-2      -1       0      0      -6        0

1       0       1      1      -1        5

0       1       0      2       4       -2    a,c not both null

0      -1       0     -2      -4        2

0       0      -1     -2       2       -4

0       0      -1     -2       2       -4

-1      -2       0     -3      -9        3

0       1       1      4       2        2

1       0       0     -1       1        1    orthogonality fails

-1       0       0      1      -1       -1

0       0      -1     -2       2       -4

0       0      -1     -2       2       -4

0      -2       1     -6      -6        0

1       1       0      1       5       -1

0       0       1      2      -2        4    a, c not both null

0       0      -1     -2       2       -4

-1       0       0      1      -1       -1

-1       0       0      1      -1       -1

***************

135)    Triangle

-2       1       0      4       2       -4

1       0      -1     -3       3       -3    a,a' not both null

0      -1      -1     -4      -2       -2

0      -1       1      0      -6        6

1      -2       0     -5      -7        5

0       1      -1      0       6       -6    a,c not both null

-1       0      -1     -1       1       -5

-1       0       1      3      -3        3

0      -2       1     -2     -10        8

-1       1       0      3       3       -3          ditto

-1       0      -1     -1       1       -5

1       0      -1     -3       3       -3

***************

136)    Triangle

-2      1        0      4       2       -4

1      0       -1     -3       3       -3

0     -1       -1     -4      -2       -2    orthogonality fails

0     -1        0     -2      -4        2

0      0        1      2      -2        4

1     -2        0     -5      -7        5

0      1       -1      0       6       -6

-1      0       -1     -1       1       -5    a,c not both null

-1      0        0      1      -1       -1

0      0        1      2      -2        4

0     -2        1     -2     -10        8

-1      1        0      3       3       -3

-1      0       -1     -1       1       -5          ditto

0      0       -1     -2       2       -4

1      0        0     -1       1        1

***************

137)    Triangle

-2      1        0      4       2       -4

1      0       -1     -3       3       -3

0     -1        1      0      -6        6   a', c not both null

0     -1        0     -2      -4        2

0      0       -1     -2       2       -4

1     -2        0     -5      -7        5

0      1       -1      0       6       -6

-1      0        1      3      -3        3   a,c not both null

-1      0        0      1      -1       -1

0      0       -1     -2       2       -4

0     -2        1     -2     -10        8

-1      1        0      3       3       -3

1      0       -1     -3       3       -3          ditto

0      0       -1     -2       2       -4

-1      0        0      1      -1       -1

***************

138)    Triangle

-2      1       0       4       2       -4

1      0      -1      -3       3       -3

0     -1       0      -2      -4        2   a',c not both null

0     -1       0      -2      -4        2

0      0       1       2      -2        4

0      0      -1      -2       2       -4

1     -2       0      -5      -7        5

0      1      -1       0       6       -6

-1      0       0       1      -1       -1   a,c not both null

-1      0       0       1      -1       -1

0      0       1       2      -2        4

0      0      -1      -2       2       -4

0     -2       1      -2     -10        8

-1      1       0       3       3       -3

0      0      -1      -2       2       -4          ditto

0      0      -1      -2       2       -4

1      0       0      -1       1        1

-1      0       0       1      -1       -1

***************

139)   -2   -1   -1            equivalent to 33)

1    0    0

0    1   -1

0   -1    1

***************

140)    Triangle

-2  -1  -1    -2  -4  -4

1   0   0    -1   1   1    orthogonality and nullity

0   1   1     4   2   2    eqns have no integral solution

0  -1   0    -2  -4   2

0   0  -1    -2   2  -4

-1  -2  -1    -5  -7  -1

0   1   0     2   4  -2

1   0   1     1  -1   5    a,c not both null

-1   0   0     1  -1  -1

0   0  -1    -2   2  -4

-1  -2  -1    -5  -7  -1

0   1   0     2   4  -2

1   0   1     1  -1   5               ditto

0   0  -1    -2   2  -4

-1   0   0     1  -1  -1

***************

141)    Triangle

-2  -1  -1    -2  -4  -4

1   0   0    -1   1   1    orthogonality and nullity relations

0   1   0     2   4  -2     have no integer solution

0  -1  -1    -4  -2  -2

0   0   1     2  -2   4

-1  -2  -1    -5  -7  -1

0   1   0     2   4  -2

1   0   0    -1   1   1    a,c not both null

-1   0  -1    -1   1  -5

0   0   1     2  -2   4

-1  -2  -1    -5  -7  -1

0   1   0     2   4  -2

0   0   1     2  -2   4              ditto

-1   0  -1    -1   1  -5

1   0   0    -1   1   1

***************

142)   -2  -1  -1        equivalent to 125)

1   0   0

0   1  -1

0  -1   0

0   0   1

***************